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参数方程、极坐标

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[导读]学科:数学 教学内容:参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化....
            学科:数学
教学内容:参数方程、极坐标
  一、考纲要求
  1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.
  2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.    二、知识结构
  1.直线的参数方程
  (1)标准式  过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是     (t为参数)
  (2)一般式  过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是
      (t不参数)        ②
  在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此时, | t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是
  |t|.
  直线参数方程的应用  设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
      (t为参数)
  若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则
  (1)P1、P2两点的坐标分别是
  (x0+t1cosα,y0+t1sinα)
  (x0+t2cosα,y0+t2sinα);
  (2)|P1P2|=|t1-t2|;
  (3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则  t=  中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=||
  (4)若P0为线段P1P2的中点,则
  t1+t2=0.
  2.圆锥曲线的参数方程
  (1)圆  圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是
   (是参数)
  φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,∈[0,2π](见图)     (2)椭圆  椭圆=1(a>b>0)的参数方程是
      (为参数)
  椭圆  =1(a>b>0)的参数方程是
      (为参数)
  3.极坐标
  极坐标系  在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫 做极轴.
  ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一 不可.
  点的极坐标  设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度 ,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)    极坐标和直角坐标的互化
  (1)互化的前提条件
  ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
  ②极轴与x轴的正半轴重合
  ③两种坐标系中取相同的长度单位.
  (2)互化公式    
  三、知识点、能力点提示
  (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化
  例1  在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
  解:  将圆的方程化为参数方程:
   (θ为参数)
  则圆上点P坐标为(2+5cosθ,1+5sinθ),它到所给直线的距离为d==|4cosθ+3sinθ +6|=5・|(cosθ+sinθ)+| =5|cos(φ-θ)+ |,其中cosφ=,sinφ= .故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2).    (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化
  说明  这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出 现.
  例2  极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π+θ)必定是(    )
  A.关于直线θ=对称            B. 关于极点对称
  C.关于极轴对称                 D.同一曲线
  解:因(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)表示相同的点,
  故选D.    (三)综合例题赏析
  例3  椭圆 (Φ是参数)的两个焦点坐标是(    )
  A.(-3,5),(-3,-3)          B.(3,3),(3,-5)
  C.(1,1),(-7,1)          D.(7,-1),(-1,-1)
  解:化为普通方程得=1
  ∴a2=25,b2=9,得c2=16,c=4.
  ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
  ∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5).
  应选B.
  例4  参数方程
       (0 <θ<2π)表示(    )
  A.双曲线的一支,这支过点(1,)
  B.抛物线的一部分,这部分过(1,)
  C.双曲线的一支,这支过(-1,)
  D.抛物线的一部分,这部分过(-1,)
  解:由参数式得x2=1+sinθ=2y(x>0)
  即y=x2(x>0).
  ∴应选B.
  例5  曲线的参数方程为 (0≤t≤5)则曲线是(    )
  A.线段          B.双曲线的一支
  C.圆弧          D.射线
  解  消去t2得,x-2=3(y-1)是直线
  又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段
  应选A.
  例6  下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是(    )
  A.                  B.
  C.           D.
  解:普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B. 中x=cost∈〔-1,1〕,故排除A.和B.
  C.中y==ctg 2t==,即x2y=1,故排除C.
  ∴应选D.
  例7  曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为(    )
  A.x2+(y+2)2=4          B.x2+(y-2)2=4
  C.(x-2)2+y2=4          D.(x+2)2+y2=4
  解:将ρ=,sinθ=代入ρ=4sinθ,得
  x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
  ∴应选B.
  例8  极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是(    )
  A.双曲线      B.椭圆      C.抛物线      D.圆
  解:原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sin θ);ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
  ∴普通方程为 (x2+y2)=x+y,表示圆.
  应选D.
  例9  在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是(    )
  A.ρsinθ=2           B.ρcos θ=2
  C.ρcosθ=-2          D.ρcosθ=-4
  解:如图.    ⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,l 交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有
  cosθ=,得ρcosθ=2,
  ∴应选B.
  例10  极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是 (    )
  A.两条射线          B.两条相交直线
  C.圆                D.抛物线
  解:由4sin2θ=3,得4・=3,即y2=3 x2,y=±x,它表示两相交直线.
  ∴应选B.
【同步达纲练习】
   (一)选择题
  1.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为(    )
  A.(2,)          B.(2,)         C.(2,-)          D.(-2,-)
  2.直线:3x-4y-9=0与圆:,(θ为参数)的位置关系是(    )
  A.相切                B.相离
  C.直线过圆心          D.相交但直线不过圆心
  3.若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,则下列各组曲 线:①θ=和sinθ=;②θ=和tgθ=,③ρ2-9=0和ρ= 3;④和.
  其中表示相同曲线的组数为(    )
  A.1      B.2
  C.3      D.4
  4.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:ρ1+ρ2=0 ,θ1+θ2=0,则M,N两点位置关系是(    )
  A.重合          B.关于极点对称
  C.关于直线θ=          D.关于极轴对称
  5.实数x,y,θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ
  变化时,点(x,y)的轨迹是(    )
  A.椭圆      B.双曲线      C.抛物线      D.圆
  6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是(    )
  A.                B.
  C.                D.
  7.将参数方程(m是参数,ab≠0)化为普通方程是(    )
  A. =1(x≠a)            B. =1(x≠-a )
  C. =1(x≠a)            D. =1(x≠-a )
  8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为(    )
  A.(x-)2+(y-)2=1                B.y2=2(x-)
  C.(x-)(y-)=0                  D.=1
  9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 (    )
  A.一条射线          B.两条射线
  C.一条直线          D.两条直线
  10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方程为(    )
  A.y-1=±(x+2)          B.y=±x
  C.y-1=±2(x+2)          D.y+1=±2(x-2)
  11.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切,则直线的倾斜角为(    )
  A.或          B. 或       C. 或          D.- 或-
  12.已知曲线(t为参数)上的点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1+t2=0,那么M,N间的距离为(    )
  A.2p(t1+t2)               B.2p(t21+t22)
  C.│2p(t1-t2)│           D.2p(t1-t2)2
  13.若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy,y2-x2)也在单位 圆上运动,其运动规律是(    )
  A.角速度ω,顺时针方向    B.角速度ω,逆时针方向
  C.角速度2ω,顺时针方向  D.角速度2ω,逆时针方向
  14.已知过曲线 (θ为参数,且0≤θ≤π)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为,则P点坐标是(    )
  A.(3,4)                     B.(,2)
  C.(-3,-4)                   D.(,)
  15.直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称,则l的方程是(    )
  A.ρ=            B.ρ=
  C.ρ=            D.ρ=    (二)填空题
  16.双曲线  的中心坐标是                 .
  17.参数方程(θ为参数)化成普通方程为            .
  18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是              .
  19.抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段,则=         .    (三)解答题
  20.设椭圆(θ为参数) 上一点P,若点P在第一象限,且∠xOP=,求点P的坐 标.    
  21.曲线C的方程为 (p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时 ,曲线C的端点为A,B,设F是曲线C的焦点,且S△AFB=14,求P的值.    
  22.已知过点P(1,-2),倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m
  (1)m取何值时,直线l和抛物线交于两点?    (2)m取何值时,直线l被抛物线截下的线段长为.    23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 (θ 为参数)的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.    24.A,B为椭圆=1,(a>b>0) 上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大值和最小值.    25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈[0,π],当t变化时:
  (1)求P,Q两动点的轨迹;    (2)当|PQ|=时,求t的值.    
参考答案
【同步达纲练习】
  (一)1.C  2.D  3.C  4.C  5.D  6.A  7.A  8.A  9.B  10.C  11.A  12.C   13.C  14.D  15.D
  (二)16.(2,-1);17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0;19.
  (三)20.(,);21.;
  22.(1)m>,(2)m=3;23.(27-3);24.Smax=,smin=;
  25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0),(2)t=或t=.
            

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