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一元一次不等式与一次函数

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[导读]第六课时 ●课 题 §1.5.1 一元一次不等式与一次函数(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较. (二)能力训练要求 1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合,培养...
            第六课时
  ●课  题
  §1.5.1  一元一次不等式与一次函数(一)
  ●教学目标
  (一)教学知识点
  1.一元一次不等式与一次函数的关系.
  2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.
  (二)能力训练要求
  1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合,培养学生的数形结合意识.
  2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
  (三)情感与价值观要求
  体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
  ●教学重点
  了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
  ●教学难点
  自己根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
  ●教学方法
  研讨法
  即主要由学生自主交流合作来解决问题,老师只起引导作用.
  ●教具准备
  投影片两张
  第一张:(记作§1.5.1 A)
  第二张:(记作§1.5.1 B)
  ●教学过程
  Ⅰ.创设问题情境,引入新课
  [师]上节课我们学习了一元一次不等式的解法,那么,是不是不等式的知识是孤立的呢?本节课我们来研究不等式的有关应用.
  Ⅱ.新课讲授
  1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
  [师]大家还记得一次函数吗?请举例给出它的一般形式.
  [生]如y=2x-5为一次函数.
  [师]在一次函数y=2x-5中,
  当y=0时,有方程2x-5=0;
  当y>0时,有不等式2x-5>0;
  当y<0时,有不等式2x-5<0.
  由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于0时即为不等式.
  下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
  2.做一做
  投影片( §1.5.1 A)
  作出函数y=2x-5的图象,观察图象回答下列问题.
  (1)x取哪些值时,2x-5=0?
  (2)x取哪些值时,2x-5>0?
  (3)x取哪些值时,2x-5<0?
  (4)x取哪些值时,2x-5>3?    图1-21
  请大家讨论后回答:
  [生](1)当y=0时,2x-5=0,
  ∴x=,
  ∴当x=时,2x-5=0.
  (2)要找2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值,从图象上可知,y>0时,图象在x轴上方,图象上任一点所对应的x值都满足条件,当y=0时,则有2x-5=0,解得x=.当x>时,由y=2x-5可知 y>0.因此当x>时,2x-5>0;
  (3)同理可知,当x<时,有2x-5<0;
  (4)要使2x-5>3,也就是y=2x-5中的y大于3,那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴,这条直线与y=2x-5相交于一点B(4,3),则当x>4时,有2x-5>3.
  3.试一试
  如果y=-2x-5,那么当x取何值时,y>0?
  [师]由刚才的讨论,大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试.
  [生]首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图1-22:    图1-22
  从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,即为小于-2.5的数,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x取小于-2.5的值时,y>0.
  4.议一议
  投影片(§1.5.1 B)
  兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
  (1)何时弟弟跑在哥哥前面?
  (2)何时哥哥跑在弟弟前面?
  (3)谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?
  (4)你是怎样求解的?与同伴交流.
  [师]大家应先画出图象,然后讨论回答:
  [生][解]设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1,弟弟跑过的路程为y2,根据题意,得
  y1=4x
  y2=3x+9
  函数图象如图1-23:    图1-23
  从图象上来看:
  (1)当0<x<9时,弟弟跑在哥哥前面;
  (2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面;
  (3)弟弟先跑过20 m,哥哥先跑过100 m;
  (4)从图象上直接可以观察出(1)、(2)小题,在回答第(3)题时,过y 轴上20这一点作x轴的平行线,它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点,每一交点都对应一个x值,哪个x的值小,说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.
  Ⅲ.课堂练习
  1.已知y1=-x+3,y2=3x-4,当x取何值时,y1>y2?你是怎样做的?与同伴交流.
  解:如图1-24所示:    图1-24
  当x取小于的值时,有y1>y2.
  Ⅳ.课时小结
  本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.
  Ⅴ.课后作业
  习题1.6
  Ⅵ.活动与探究
  作出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象,并观察图象回答下列问题:
  (1)x取何值时,2x-4>0?
  (2)x取何值时,-2x+8>0?
  (3)x取何值时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立?
  (4)你能求出函数y1=2x-4,y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗?并写出过程.
  解:图象如下:    图1-25
  分析:要使2x-4>0成立,就是y1=2x-4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,同理使-2x+8>0成立的x,即为函数y2=-2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合,要使它们同时成立,即求这两个集合中公共的x,根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长,由两函数的交点坐标可求出底边上的高,从而求出三角形的面积.
  [解](1)当x>2时,2x-4>0;
  (2)当x<4时,-2x+8>0;
  (3)当2<x<4时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立.
  (4)由2x-4=0,得x=2;
  由-2x+8=0,得x=4
  所以AB=4-2=2  由  得交点C(3,2)
  所以三角形ABC中AB边上的高为2.
  所以S=×2×2=2.    ●板书设计
  §1.5.1  一元一次不等式与一次函数(一)
  一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系;
  2.做一做(根据函数图象求不等式);
  3.试一试(当x取何值时,y>0);
  4.议一议
  二、课堂练习
  三、课时小结
  四、课后作业
  ●备课资料
  参考练习
  1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场调查发现:如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多?
  解:设商场计划投入资金为x元,在月初出售,到月末共获利y1元;在月末一次性出售获利y2元,
  根据题意,得
  y1=15%x+(x+15%x)・10%=0.265x,
  y2=30%x-700=0.3x-700.
  (1)当y1>y2,即0.265x>0.3x-700时,x<20000;
  (2)当y1=y2,即0.265x=0.3x-700时,x=20000;
  (3)当y1<y2,即0.265x<0.3x-700时,x>20000.
  所以,当投入资金不超过20000元时,第一种销售方式获利较多;当投入资金超过20000元时,第二种销售方式获利较多.
  2.某医院研究发现了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药后2小时时血液中含药量最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3毫克,每毫升血液中含药量y(微克),随着时间x(小时)的变化如图所示(成人按规定服药后).
  (1)分别求出x≤2和x≥2时,y与x之间的函数关系式;
  (2)根据图象观察,如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间是多少?    图1-26
  解:(1)当x≤2时,图象过(0,0),(2,6)点,设y1=k1x,
  把(2,6)代入得,k1=3
  ∴y1=3x.
  当x≥2时,图象过(2,6),(10,3)点.
  设y2=k2x+b,则有    得k2=-,b=
  ∴y2=-x+
  (2)过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线,于y1,y2的图象交于两点,过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和,即在-=6小时间是有效的.
            

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